Derivative Rules
1. Derivatives Rules
1.1 Rules
derivative of x 에 대한 테이블
| Rule | Function | Derivative |
|---|---|---|
| Constant | c | 0 |
| Line | x | 1 |
| ax | a | |
| Square | \(x^2\) | \(2x\) |
| Square Root | \(\sqrt{x}\) | \(½ x^{-½}\) |
| Exponential | \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(\ln(a) a^x\) | |
| Logarithms | \(\ln(x)\) | 1/x |
| \(\log_a(x)\) | 1/ (x ln(a)) | |
| Trigonometry (x is radian) | sin(X) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) | |
| tan(x) | \(sec^2(x)\) | |
| Inverse Trigonometry | \(sin^{-1}(x)\) | \(1/ \sqrt{(1-x^2)}\) |
| \(cos^{-1}(x)\) | \(-1/\sqrt{(1-x^2)}\) | |
| \(tan^{-1}(x)\) | \(1/(1+x^2)\) |
Function Rules!
| Rule | Function | Derivative |
|---|---|---|
| Mutiplication by constant | cf | cf` |
| Power Rule | \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| Sum Rule | f + g | f’ + g’ |
| Difference Rule | f - g | f’ - g’ |
| Product Rule | fg | fg’ + f’g |
| Quotient Rule | f/g | \(\frac{f'g - g'f}{g^2}\) |
| Reciprocal Rule | 1/f | \(\frac{-f'}{f^2}\) |
| Chain Rule | \(f \cdot g\) | \((f \cdot g) g'\) |
| Chain Rule with ‘ | f(g(x)) | f’(g(x)) g’(x) |
Examples
\(\frac{d}{dx} x^3\) 에 대한 값은?
derivative of \(x^3\) 은 power rule 을 적용합니다.
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} x^n &= nx^{n-1} \\ \frac{d}{dx} x^3 &= 3x^{3-1} = 3x^2 \end{aligned}\]x^2 + x^4 에 대한 값은?
derivative of f + g = f’ + g’ 인 sum rule 을 사용.
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} \left[ x^2 + x^4 \right] = 2x + 4x^3 \end{aligned}\]Chain Rule 예제
what is the derivative of \(f(x) = (3x + 1)^5\) ?
기본적으로 chain rule 은 바깥쪽에서 미분한번 하고, 안쪽에서 다시 미분하고.. 서로 곱하면 됨.
여기서 바깥쪽은 5제곱한 것이고, 안쪽은 3x + 1 임